三体和开普勒问题理论

开普勒问题

地球围着太阳转。假设没有外力，只有两个物体相互之间的引力作用，则轨道是椭圆。这是典型的两体问题。

这个事实是开普勒首先观察到的，并根据天文观察的资料，他归纳出了开普勒三定律。注意这是归纳。

开普勒第一定律，也称為椭圆定律、軌道定律：每一个行星都沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点中。

开普勒第二定律，也称為等面积定律：在相等时间内，太阳和运动着的行星的连线所扫过的面积都是相等的。

开普勒第三定律，也稱為週期定律：各个行星绕太阳公转周期的平方和它们的椭圆轨道的半长轴的立方成正比。

然后牛顿顿爷把开普勒三定律从数学上推导出来了。先从牛顿万有引力定律和第二定律出发写出微分方程，然后求解该微分方程。解都写出来，验证开普勒三定律就轻而易举了。

牛顿第一定律：假若施加於某物體的外力為零，則該物體的運動速度不變（慣性定律）

牛顿第二定律：施加於物體的外力等於此物體的質量與加速度的乘積

牛顿第三定律：當兩個物體相互作用於對方時，彼此施加於對方的力，其大小相等、方向相反（作用力與反作用力）

来源：维基百科

专业的术语叫该微分方程系统是可积的。

和归纳不同，这是演绎。归纳是从个别到一般，演绎则是从一般到个别。

（题外话：现在的机器学习连归纳都还做不到，罔论演绎。也许这是打开世界的另外一种方式，暴力计算。）

关于开普勒问题，附上我的讲课笔记（主要参考Arnold的《经典力学的数学方法》），推导现在看来不是太难。在顿爷那时，这属于宇宙洪荒开天辟地的惊世之作。牛爵爷为做这个事情，还顺带发明了微积分这个神器。

三体

 

很自然地人们会问这样的问题，如果是三体呢？三个星球没有外力，只在相互之间的万有引力作用下运动，轨道是什么样的呢？

 

方程照样写，因为牛顿万有引力定律和第二定律仍然成立（牛哉，顿爷）。但是，一般情况下，描述三体运动的微分方程就解不出来了。

 

如果三个星星的质量差不多，则没有稳定的轨道，专业术语叫混沌。

 

形象的说法，如果天上有三个太阳，则天下大乱。“ 每天太阳从东方升起，西边落下 ”这种金科玉律都将失效。天知道太阳要从哪升起，也许根本就不升起，也许一下就出来三个，把大地变成蒸笼。

 

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这就是大刘《三体》一书的背景。三体人生活的世界就有三个太阳，气候变化无常，反而迫使他们进化出了更高级的文明。

 

 

 

小扰动的可积系统

 

但我们的太阳系有八大行星，还稳定地运行着。太阳-地球-月亮，这个三体系统也运行地有条不紊，为什么呢？

 

 

太阳系的八大行星彼此之间相隔太远。万有引力和质量成正比，和距离的平方成反比。行星之间离得太远，彼此的引力可以忽略。

 

万有引力定律：兩個質點彼此之間相互吸引的作用力，是與它們的質量乘積成正比，並與它們之間的距離成平方反比。

来源：I,DennisNilsson，CCBY3.0，https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=3455682

 

相对于某些星球彼此之间的距离而言，太阳离得更远，但是太阳的质量很大。综合起来还是太阳的引力起决定性的作用。比如月亮和地球紧挨着，但是月亮的质量太小，对太阳-地球这个两体系统的影响微乎其微。

 

这个就是庞加莱在考虑三体问题时提出的限制性三体问题：即三体中其中两体的质量极大，以至于第三体完全不能对其造成任何扰动。

 

 

如果用一句话来介绍KAM理论，那就是：一个可积系统在微小的扰动下仍然有稳定解。

 

1954年﹐科尔莫戈罗夫提出﹐在一定条件下﹐排除共振奇点邻近的小区域(共振带)后﹐可保证正则变换级数和变换序列的收敛性﹐但他并未提出详细的严格证明。1963年﹐阿尔诺德作出上述论断的严格证明﹐并进而消除了限制条件。

 

所扣除的区域称为“共振带”﹐而所有这些共振带是趋向于零的﹐也就是说处于被排除的共振带内的概率等于零。因此﹐科尔莫戈罗夫和阿尔诺德的理论证明哈密顿正则方程组在小摄动下对应的运动为拟周期的(即只在某个环面内运动)﹐从而即不稳定的概率为零。差不多同时﹐莫泽也获得类似的结果。所以用三人首写字母KAM来命名。

 

来源：百度百科

 

KAM理论不光是解决了平面限制性三体问题的稳定性问题，更是提供了一种方式方法，可以用于解决很多问题。再说的俗一点，就是养活了一大批数学家。

 

 

讲义

 

接下来把我在课堂上讲KAM的讲义附上，主要是参考

Wayne,C.Eugene. "AnIntroductiontoKAMTheory".

http://math.bu.edu/people/cew/preprints/introkam.pdf

 

讲义太长，分成三次贴出。有兴趣的同学可以读读，不清楚的地方参看Wayne的lecturenotes. 

 

第一部分是问题介绍和背景知识

第二部分是KAM理论的简化版本：圆同胚问题

第三部分是原始的KAM理论：近似可积的Hamiltonian系统

 

 

 

最后的彩蛋献给异地的情侣们，祝你们早日解决two-bodyproblem。

 

万有爱情定律：感情的强烈程度与颜值成正比，和两人距离的平方成反比。

 

来源：我瞎说的

感谢同事YifengYu和WencaiLiu的讨论，特别是Yifeng对文章的仔细审核和意见：KAM理论是不能直接用于解释太阳系的稳定性的。问题还很复杂，理论还是太简化了。

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