黑暗森林法则——单一文明的兴衰
宇宙就是一座黑暗森林，每个文明都是带枪的猎人，像幽灵般潜行于林间，轻轻拨开挡路的树枝，竭力不让脚步发出一点儿声音，连呼吸都小心翼翼；他必须小心，因为林中到处都有与他一样潜行的猎人。如果他发现了别的生命，能做的事只有一件：开枪消灭之。在这片森林中，他人就是地狱，就是永恒的威胁，任何暴露自己存在的生命都将很快被消灭，这就是宇宙文明的图景。
———《三体黑暗森林》
黑暗森林法则
两条宇宙公理
茫茫宇宙之中文明的兴衰再常见不过，生存本来就是一种幸运，过去的地球上是如此，现在这个冷酷的宇宙中也到处如此。但不知从什么时候起，人类有了一种幻觉，认为生存成了唾手可得的东西。你的无畏来源于无知！从两条公理出发，让我们构建整个宇宙：
1、生存是文明的第一需要。
2、文明不断增长和扩张，但宇宙中的物质总量基本保持不变。
猜疑链与技术爆炸
1、猜疑链：双方无法判断对方是否为善意文明。在地球上这样的猜疑可能再两三次就有可能通过交流解决。但在宇宙尺度上，时空的遥远导致猜疑链会无穷无尽的进行下去。
2、技术爆炸：文明进步的速度和加速度不见得是一致的，弱小的文明很可能在短时间内超越强大的文明。就像人类有几千年的历史，地球有数十亿年的历史，但是现代科技却仅在300年内发展起来。300年对于地球与人类的历史来说就像是一颗炸弹凌空爆炸，飞速到让人惊叹。
文明博弈
1、善意和恶意：善意指：在知道其他文明的存在后，不主动攻击和消灭其他文明，恶意则指主动攻击和消灭其他文明。
2、宇宙广播：指某个文明所处的坐标被广播到了全宇宙，被其他文明知悉，但是此文明并不知道自己被广播了。
“黑暗森林理论”的推理逻辑
1、当一个文明发现另一个文明以后，由于双方无法确认对方是善意的，且无法确认对方的技术能力，文明为了自保，只能以最大的恶意揣测对方。就算一方文明能确认对方的技术能力，由于技术革命的爆炸性，对方也可能在极短时间内超越自己，从而使自己处于劣势方。
2、在两个文明之间建立联系后，由于交流的困难以及文化之间的隔阂，必然存在不信任。甲对乙的善意可能导致乙的恶意，从而对甲自身不利，而对自己的不利是违反“生存是文明的第一需要”公理的。因此甲为了最小化自身的风险，就只能选择恶意。无论乙如何选择，迫于生存的必须，所有文明只能选择恶意。
3、将如上两个文明的情况扩展到全宇宙中。假设甲文明主动向宇宙广播自己的坐标，那么所有其他接收到信息的文明，都会知道甲的位置有文明。在两文明博弈中，所有其他文明立刻对甲文明抱有恶意，从而甲文明毁灭，从而甲乙博弈以乙胜出告终。
4、因此主动或者被动暴露自己的存在，将会导致文明的灭绝。所有文明最害怕的是自己的坐标被暴露，一旦暴露就可能会被其他人打击，因为这样就违背了第一条公理。
因此在宇宙中，没有文明敢于主动对外联系，宇宙间也无法找到任何智慧文明的痕迹。因此，宇宙是“黑”的，真黑啊！
黑暗森林与数学建模
本文尽量将黑暗森林的理论通过数学量化，从而代入中学数学建模课堂。基于阿拉丁最近的马赛克数学建模理论，将探究知识碎片化，微观解决各类小问题，从而组成一个宏观上较为清晰的马赛克图景，给岁月以文明,而不是给文明以岁月。当然本文只是理论的简单实践，欢迎广大同仁批评与建议。
单一文明的兴衰
单一文明占据一个恒星系，拥有一定资源，具有一定的技术能力。文明会随着时间发展技术能力，且技术发展可能进入技术爆炸阶段和技术停滞阶段。
随着技术的增长，文明消耗资源的速度加速，当资源耗尽时，文明要么死亡，要么选择移民附近的恒星系，占有新的资源延续下去。
因此本文主要从简单的单一文明的发展进行建模。尽量从中学生可以理解的角度对单一文明的发展做出数学的描述，可能不是很严谨，但尽可能自圆其说，毕竟宇宙不是童话。
模型假设
首先一个好的假设可以将复杂的问题简单化，从简单入手不断添加枝叶，将马赛克逐渐清晰化是数学建模前需要考虑的最重要的问题。
首先如何模拟整个文明？时间尺度怎么考虑呢？为了更符合文明的发展尺度，文明考虑使用差分方程（类似于数列递推公式的表达）来模拟文明的迭代，而每一次迭代我们规定为一年。
你们怎么通过简单的方程式包含整个文明发展的规则呢？很多策略游戏例如文明、维多利亚等都将人口、科技、文化和资源放在首位，我们人类的历史实际上也是在这几个维度中来回穿梭。因此为了将这个宏大的问题变成中学生可以解决的问题，合理地舍弃众多细节，我将文明的发展量化为三个表征参数：总可利用资源（AR）、总人口（P）和科技水平（ST）。
总可利用资源（AR）顾名思义就是该文明所有可以利用的资源，也是对黑暗森林法则第二条公理：“文明不断增长和扩张，但宇宙中的物质总量基本保持不变”的应用。定量的反映一个文明的启示地位和最终消亡时间。并且资源只能被消耗无法继续增加，一旦资源降到某个规定的数值，则可以宣告该文明因资源枯竭而亡。由于本文只涉及单一文明，因此不考虑因为资源消耗而导致的移民或者并吞战争问题。
总人口（P）即定义为主导该文明的生物的生命个体总数，由于我们在宇宙的尺度考虑问题，所以这里并不能类比人类的人口，因为人类的一个家庭没有几个人，但是动物的家庭数量却很多（例如蚂蚁）。我们将这里的初始值定为1，并在一定时间能不断增长，但人口的增长会受制于资源总量和科技水平，一旦人口下降到某一个极限数值，我们定义该文明因为人口数量不足而灭绝。
科技水平（ST）是指该文明的科技文化等一系列情况，初始值规定为10.一旦科技水平下降到某一个极限数值以下，那么就宣告该文明因为退化而消亡。
不要轻视简单，简单意味着坚固，整个数学大厦，都是建立在这种简单到不能再简单，但在逻辑上坚如磐石的公理的基础上。无限长的曲线就是宇宙的抽象，一头连着无限的过去，另一头连着无限的未来，中间只有无规律无生命的随机起伏，一个个高低错落的波峰就像一粒粒大小不等的沙子，整条曲线就像是所有沙粒排成行形成的一维沙漠，荒凉寂寥，长得更令人无法忍受。你可以沿着它向前向后走无限远，但永远找不到归宿。
模型建立
背景故事和游戏规则制定好了，那么就开始游戏的主干吧！让我们的马赛克逐渐清晰！
让我们回忆回忆学必修一的时候我们通过指数研究过人口的增长，当时建立了一个指数的增长模型。如果人口基数为a，增长率为r，经过t时间，就有增长之后的人口数：
这个过程似乎有些绝对，因为增长率怎么可能是一个固定不变的数值呢？这其实就是数学应用题与数学建模的区别，前者将可变因素全部排除，主要考察学生的知识点应用能力，而后者则需要将可变因素考虑其中，如何自圆其说并且符合实际便成了关键。
那么我们不妨考虑一个迭代的过程：
这个方程描述了某一次迭代中人口的增长率为r，但并不是所有迭代都是r.那么我们将描述人口的过程落脚于这样一个差分的过程中后，我们就有了进一步研究增长率的条件。
那么人口增长率会和什么有关呢？七嘴八舌的议论：GDP、学历、医疗、科技文化、就业等等等等太多了，就像现在的三胎政策就是在促进人口增长。那么这些如果我们都考虑进去，是不是我们也可以做国家智库成员了（做个小白日梦）。
那当然做不到，起码现在的我们做不到。在之前其实我们就对模型有过假设，将文明的表征定为三个参数：总可利用资源（AR）、总人口（P）和科技水平（ST），那么实际上影响文明人口增长的因素，我们其实已经简化到了两个维度：总可利用资源和科技水平。
那么这两者是如何影响的呢？我们来考虑一下如果资源总量给定，并且每年在不断减少，那么可以承载的人口数量就是有限的，不可能无穷无尽的增长下去；同样的科技水平也制约着人口的发展，生老病死人之常情，科技或许做不到增加人口的寿命，但是可以延长人口生命的时间。
于是我们给定另外两个参数：资源承载系数（
）和科技承载系数（
）。我们定义在某个迭代过程中
代表着该段时间中总资源能承载的极限人口，同理
代表着该段时间中科技水平能承载的极限人口。
那么两者相互制约？还是相互促进呢？也就是说谁占影响人口的主要地位呢？实际上不好说，但是为了模型的合理性，我们认为这两者地位等价。那么如何用数学表达描述这样的等价地位呢？
思考一个问题：如果总资源很少，但是科技值很高，人口会大量增长吗？当然不会！因为并没有更多资源支持大量人口。同样的如果资源很多，但是科技值很少，虽然出生人口可能比较多，但是死亡人口同样多，那么人口净增长率也不会高。这就类似于英语语法中的就近原则，我们这里它俩谁更少我们就认为谁主导——也就是木桶效应（短板效应）。
那么这样解释我们用数学描述是不是就简单很多了，高一就学过的知识：
可是我们好像跑偏了，我们刚刚定义的都是极限承载的人口，但是我们想要的增长率啊。其实没有跑偏，增长率其实就是比值嘛。于是在一定量的资源与科技下能够承载的最大人口数为，当前人口数为
,于是
那么
就是当前人口占此时最大人口的比率，那么这个文明想要增长，就得有上升空间。这个空间是多少呢？当然是
当然这只是资源与科技的影响而已，虽然影响很大，但是人口的增长关键是靠人，而不是外力。因此我们需要另一个参数人口极限增长率
，代表着绝对舒适条件（指资源和科技均充足的情况）的人口增长率。
ok，到这里这里再去考虑更复杂的情况就不礼貌了，学生也该造反了。因此我们通过分析得到每一年的人口增长率为
那么结合差分差分方程，我们就得到了人口的增长模型：
这其实就是大名鼎鼎的logistic人口模型（黑暗森林版），高中生物的“S”型曲线基本上就是这么来的。
好啦，考虑完人口，该考虑比较简单的总可利用资源（AR)了。根据黑暗森林公理二：文明不断增长和扩张，但宇宙中的物质总量基本保持不变。因此总可利用资源就是一个单调递减的过程，至于怎么减？是线性的？是下凸的？是上凸的？我们说不好，一切得依靠数学说话。
那么资源的消耗来源于人口的消耗和科技发展的消耗，为此我们继续引入两个参数：人口消耗系数
和科技消耗系数
.顾名思义两者存在的意义就在于衡量人口与科技对资源的消耗。于是我们定义
为当前时间人口对资源的消耗量；
为当前时间科技对资源的消耗量。
那么我们就很容易得到总可利用资源的变化模型：
最后也是最复杂的科技水平建模。由于科技的发展并不遵循某种规律，并不呈现线性或者指数发展模式，这时因为上文对技术爆炸的推论。那么什么时候会发生技术爆炸呢？我也不知道，谁都不知道。因此我们规定迭代的每一次都可能发生技术爆炸，爆炸的概率为
.
那有同学就会疑问了：那有没有可能年年爆炸呢？当然有，所有为了模型的简洁性，我们规定：
1.技术爆炸期间不会出现新的爆炸。只有处于非技术爆炸期间才有可能出现技术爆炸。
2.科技只会在技术爆炸期间发展，非爆炸期间则停滞不前。
那么在技术爆炸期间我们的科技增长很好建模，只需要引入一个参数即可：爆炸时期科技发展率（
），因此我们可以得到爆炸期间的科技发展模型：
那么还有一个问题：爆炸持续的时常该怎么规定呢？是确定时常还是非确定呢？这里没有很多参照物进行类比，只能参照人类的四次技术革命：历史上，第一次工业革命开始于18世纪60年代，终止于19世纪中期，历时90年；第二次工业革命开始于19世纪70年代，终止于20世纪初，历时约50年；第三次信息革命开始于1950年至今，已存在约70年。这三次技术爆炸都在百年左右，因此假设爆炸时常
，即随机从10-100的均匀分布之间取一个值，作为本次科技革命的持续时间。(这里就当是课外探索吧，均匀分布高中也不怎么研究，学了概率论再说吧)
到这里其实还有个问题：文明的发展总是一帆风顺吗？当然不是！天灾人祸也是制约文明发展的又一大因素，从史前的火山喷发到中世纪的黑死病，连年的战乱和无尽的厮杀，每次都将文明推向黑暗的深渊。那么我们再次规定，每一次迭代中都有
概率发生天灾，而发生天灾后的人口总数与科技水平分别退化到原来的
（人口影响系数）和
（科技影响系数）。也就是天灾后人口为
，科技水平为
.考虑到中学生的能力，我们规定每一次天灾人祸的影响系数相同。
很好，到现在我们就完成了对单一文明发展的模型建立。
虽然写到这阿拉丁看着这个模型都显得那么单薄，但是我觉得对中学生来说到这已经是很优秀了。还是喜欢庄颜与罗辑的那段对话，我觉得在这个模型下说这样的话很应景：
庄颜：“我觉得它像晚霞的眼睛”
罗辑：“你怎么不说是朝霞的眼睛”
庄颜：“我更喜欢晚霞”
罗辑：“为什么”
庄颜：“晚霞消失后可以看到星星，朝霞消失以后，就只剩下····”
罗辑：“只剩下光天化日下的现实了”
庄颜：“是，是啊。”
模型虽然简单，但是却饱含我们对宇宙的向往；现实的复杂却映射着宇宙的残酷。
参数初始化分析
参数的选取和赋值都是建模中至关重要的，模型的好坏一定程度上取决于参数的赋值与实际含义。并且对参数初始化分析，也可以帮助文明了解模型的敏感度（适用程度）。
1.初始总资源
：这是一个相当大的数字，就像游戏《群星》中也会在开始让玩家选择开局的初始资源，是贫瘠还是富饶。贫瘠不一定就不会，可能导致战争欲望的增加，开疆扩土，获得更多资源。而富饶也不一定就好，黑暗森林中的猎人千千万，搞不好你就是下一个猎物。但是本文只考虑单一文明的发展，所以我们就类比地球上最常见的资源——水，地球上的水资源储备大于为14.5亿立方千米。那么我们对文明的初始值就设为
.
2.人口极限增长率
：由于我们并未发现外星文明，那么还是只能类比人类。根据联合国人口基金会2021年数据，世界人口平均增长率约为1.2%，这是在疫情、战争、金融危机等等影响下的数据，所以我们估算该文明的人口极限增长率约为1.5%.
3.人口消耗系数
和科技消耗系数
：似乎根据人类的数据没办法具体估计，那么就先暂定其都约为0.05吧。
4.天灾人祸发生概率
：好像最近几百年人类历史上发生的大型天灾人祸事件很多，间隔也很紧密并没有出现明显的规律，那么我们就暂定发生概率为0.01吧，约为每百年发生一次大灾难。
5.人口影响系数
和科技影响系数
：天灾对人口的影响让我想到了黑死病肆虐的中世纪，当时因为黑死病死亡人数约7000万，可是当时地球上的人口总数无法考证，那么就估计为当时的10%，那么我们估计人口影响系数
。灾难对科技的影响应该比对人口的影响小，毕竟科技会促进人口素质的提升，那么估计科技影响系数
.
6.资源承载系数
和科技承载系数
：又是个世纪大难题，这又是没办法类比估算的，那么我们就暂且给个周期，也就是每百年会消耗相同的资源与人口，那么资源在就以百年为单位承载人口，同样科技也以百年为单位承载人口，因此两者估值均为0.01.
7.爆炸时期科技发展率
：2021年全球GDP增长率约为5，8%，有点夸张了，但是我们实际上的确也处于一个技术爆炸的时代，那么我们规定爆炸时期科技发展率
.
看着这简化的不能再简化的参数设定，在差分的迭代下，在时间的积累中都会变得黯然失色，当迭代到几千年后，你还能看出我们的参数吗？其实我们的文明就像一场五千年的狂奔，不断地进步推动着更快的进步，无数的奇迹催生出更大的奇迹，人类似乎拥有了神一般的力量……但最后发现，真正的力量在时间手里，留下脚印比创造世界更难，在这文明的尽头，他们也只能做远古的婴儿时代做过的事。
模型的模拟与敏感度分析
对不起对不起对不起！阿拉丁实在做不到！都怪当我没有好好学编程，现在书到用时方恨少，Python确实好上手，让我解个方程组什么的很简单，但是阿拉丁玩不明白的是这怎么搞成一个整体，概率怎么加？用布尔值吗？咋用啊？我这脑子就是不好用啊！
唉，我好菜啊，本来想象中的模拟绝对让人惊艳，但是可惜了。不过从这件事也能看出来，数学建模脱离了编程总是架空的，没办法模拟。也可能大学时期的比赛阿拉丁从来没负责过编程吧，太内疚了。现在看着小贴士小气球还有群里找美赛队友的，我都想去求求这些优秀的师弟师妹了，帮帮菜鸟师兄吧。
这次就先跳个票，给阿拉丁点时间再学学，之后会旧文重发，把模拟和敏感度分析补上。
再说一遍：对不起！Sorry！私密马赛！
写在后面
作为一个中学就在数学课上看《三体》的人来说，这三本书可谓是对我影响很大，甚至一度我想想去学理论物理，当然最后知难而退了。到现在已经是刷了三四遍了，每一次看都会被书中庞大的世界观所震撼。即使黑暗森林理论还有所谓的宇宙社会学并不是科学理论，只是小说而已，但是阿拉丁还是想将其设计成一次数学建模课，毕竟仰望星空是每一个孩子的梦想。是啊，我们都是阴沟里的虫子,但总还是得有人仰望星空吧.
本文只是将单一的文明发展进行建模，后续会推出两个文明的博弈，也就是尽量用中学生的办法构造猜疑链。再之后就是模型的组合，真正建立起宇宙中的黑暗森林。不过这可能需要些时间，一方面阿拉丁对博弈并不是很熟，而且加上这篇文章还没有模拟，也希望各位读者可以继续支持。
敬畏宇宙、探索宇宙，也希望在不远的将来人类敢于真正突破地球的限制，走向那黑暗恐怖但又令人向往的宇宙。我有一个梦，也许有一天，灿烂的阳光能照进黑暗森林。或许那时候的人类也就不叫人类了。
“自然选择，前进四！”
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