三体不稳定，为什么太阳系如此稳定？

春秋战国之前，有个诸侯国叫杞国。有一个杞国人总是担心天会掉下来，便有人劝他：

“天，積氣耳，亡處亡氣。若屈伸呼吸，終日在天中行止，奈何憂崩墜乎？”

 

这个杞国人听后转念一想，既然天是“气”的一部分（注意这里的“气”并非指气体，而是一种古代的哲学思想），那么怎么保证星星不能砸下来呢？那人又说：

“日月星宿，亦積氣中之有光耀者；只使墜，亦不能有所中傷。”

 

不少读者看到这里都明白了，这就是杞人忧天的故事，它被记载到了《列子》当中。在今天，这个成语被用来讽刺那些毫无依据的瞎操心。

 

杞人忧天。图片来自网络

 

不过由于古代科学不发达，对于“日月星宿，亦积气中之有光耀者；只使坠，亦不能有所中伤”这种过时的解释，在今天看来是站不住脚的。现代天文学告诉我们，古人眼中的“星宿”表面温度至少有几千度以上，质量至少有太阳那么大（仅限于肉眼能观察到的），如果它真有掉下来的一天，还真就成为世界末日了。

 

也许有人会说，恒星那么远，宇宙又那么大，它总不能闲着没事干就非得往地球这个方向飞吧？天涯何处无芳草啊！

 

恒星和地球距离都很远，不会无缘无故来撞地球

 

不仅如此，地球的活动还满足非常稳定的周期性规律——昼夜交替四季变更，这些规律自古以来就不曾改变。无论公转还是自转，太阳系的八大行星都能严格尊守自己的岗位，任宇宙之海再怎么汹涌澎湃，依旧雷打不动。这一切都要归功于太阳系的稳定性，正是这种稳定性造就了地球得天独厚的环境，也使得地球不会脱离太阳系的怀抱。

 

看过刘慈欣《三体》这部小说的读者应该更能感受到这种稳定性的当知不易——封闭的三体系统是一个混沌系统（混沌系统另一个例子是蝴蝶效应，可参考小编的《混沌理论到底是什么——从蝴蝶效应出发》一文），也就是说，很小的扰动就可能对这个系统的长期运动规律产生天翻地覆、难以预测的影响。

 

太阳系有八大行星，还有多颗矮行星（质量介于行星和小行星之间）、无数小行星甚至轨道离心率很大的彗星，情况远比三体系统复杂得多。但这个复杂的系统居然会如此的稳定，令人不得不对大自然心生敬意。

 

稳定的太阳系

 

那么太阳系为什么那么稳定呢？事实上这是一个非常复杂的数学问题。为了加深读者们的理解，我们先来看看三体问题为什么不稳定。

 

一、不靠谱的三体系统

《三体》这部小说（仅限第一部）主要讲述了“三体人”的故事。三体人的文明和科技都高度发达，但由于生活在运动规律难以预测的三星系统中，三体人的生活环境常常风起云动，不得不靠“脱水”的方式来逃避恶劣的环境。在偶然间获得地球的方位后，便想把环境稳定的地球作为殖民地。

 

三体系统也就是由三个粒子在引力作用下构成的封闭系统。这看起来非常简单，为什么“规律难以预测”呢？我们先把理想状况下三体系统（封闭、忽略粒子大小）满足的常微分方程组写下来：

 

其中x_i表示第i个粒子的位置坐标，一般情况下是三维向量

 

这三个常微分方程组本质上就是牛顿第二定律，并不难理解。但是就算只考虑二维平面上的三体问题，也需要解3*2*2（方程个数*方程阶数*维数）=12个非线性方程，除了一些特殊的情况，根本没办法找到精确解。其本质原因在于三体问题的“守恒量”（例如能量、动量、角动量等）和方程个数相比太少，使得几乎所有三体问题都不是可积系统（IntegrableSystem），就好比五次代数方程没有根式解一样，不可积的微分方程系统不存在解析解（某种意义上的精确解）。

 

可积系统的严格定义比较复杂，小编会在第三章进行介绍。有兴趣的读者也可以参考阿诺尔德的名著[1]的最后一章或者[2]。

 

解析解不存在该怎么办呢？没关系，可以用数值模拟的方法把这些解找出来。为了使问题再度简单化，我们假设三个粒子的质量都相等。

 

也许有的读者会认为，已经简化到这个地步了，应该能得到不错的答案了吧？但事实上就算如此，不同的初值条件依然可以对应全然不同的解。这里的初值条件包含了三个粒子的二维位置和速度的信息，一共有 3*2*2=12个自由度（维数）供选择。在这么高的自由度下，解的表现自然大相径庭，有的解如乱麻一般毫无规律，倒霉的三体人就不幸遇到了这样的解；但有的解具有很强的周期性，例如（顶端数据表示三个粒子的位置和速度）：

 

双弯曲三角+大圆。初值条件：

位置--(0.666,-0.082),(-0.025,0.454),(0.003-0.766)

速度--(0.8410.029),(0.142-0.492),(-0.9830.462)

双螺旋+椭圆

 

也有一些相对简单的周期解：

 

对称性很强的三体运动

 

另外一些解乍看上去很有规律性。然而华丽的外表往往最容易掩饰暗藏的杀机，只有时间才能让杀机浮出水面：

 

全面崩盘的三体系统

 

由于涉及到的程序文件较多，小编暂不分享这些代码了。不过由于三体问题乃至更一般的多体问题一直都是活跃的研究课题，因此小编会在以后的文章中继续介绍。下面我们回到“太阳系的稳定性”这一话题。

 

 

二、靠谱的太阳系

从上一节的数值模拟中可以看出，就算只考虑二维情况并且假设每个粒子都有相同质量，三体问题依然可以复杂得令人发指。如果我们把太阳系和三体问题进行对比，不难发现，太阳系的运动情况比三体问题复杂太多了——就算忽略掉太阳系中所有的卫星、小行星、矮行星、彗星以及各种星际尘埃，太阳系也至少有一颗恒星和八大行星，是一个九体系统。就算我们假设这个九体系统只限制在二维平面上，我们也不能让每个粒子的质量相等了。

 

但就算这样，地球已经环绕太阳几十亿年了，期间虽然历经过多次大冰期，可能遭受过无数次小行星撞击和伽马暴（产生于大质量恒星引力坍塌）的破坏，但却从来没想过要飞出太阳系，比“爱你一万年”还要矢志不渝。究竟是什么使得太阳系如稳定呢？

 

地球经历过的各种大型灾难[3]

 

太阳系的稳定性看起来是一个很经典的力学问题，但出人意料的是，它直到20世纪中叶以后才渐渐引起科学家们的关注。这个问题的相关研究也标志着一个全新数学分支——动力系统（DynamicalSystem）的诞生和兴起。

 

为了研究太阳系的稳定性，前苏联数学家柯莫戈洛夫（Kolmogorov，也是第一个把概率论公理化的人）、阿诺尔德（V.L.Arnold）和德国数学家莫泽（JürgenMoser）提出了著名的KAM理论（KAM分别是这三人的姓式首字母）。他们三人均因此先后获得沃尔夫数学奖（在数学领域影响力仅次于菲尔兹奖）。

 

或许柯莫戈罗夫的获奖和概率论的公理化更相关

 

从数学的角度来看，KAM理论中的各种定义杂乱无章，涉及到“相空间流”、“微分形式”、“奇异摄动”、甚至“丢番图逼近”等看起来八杆子搭不上边的数学概念，定理的证明也很长，看起来似乎毫无数学美感。但事实上如果通过太阳系稳定性的角度去理解，这个理论就非常美妙了。

 

下面是柯莫戈罗夫最原始的定理：

 

后面会介绍它的中文翻译[4]

 

阿诺尔德和莫泽又把柯莫戈罗夫的结论推广了出去，形成了KAM理论的框架。上面这个定理虽然名气很大，但如果只从定义出发去理解，则很容易陷入数学分析的思维陷阱中，难以理解这个定理和太阳系的稳定性之间有什么关系。

 

三、KAM理论概要

 

 

KAM理论到底是何方神圣？柯莫戈罗夫等人又为什么会想出上面这个结论呢？我们先来考虑一般的n体系统。

 

我们已经知道，三体系统已经是一个很复杂的系统了，其中一个原因在于三体系统不是可积系统（换句话说，守恒量不足），没办法通过解方程得到准确解。在前文对三体问题的讨论中，小编提到，因为三体系统不是可积系统，所以找不到解析解。既然可积系统是一个好东西，那么有没有办法把三体问题，乃至太阳系的九体问题用可积系统来近似呢？这就是柯莫戈罗夫等人的思路。

 

在此之前，我们来看看可积系统的严格定义：

 

 

定义：

令M是一个2n维辛流形（也就是高维曲面上每一点都装载一个辛矩阵作为度量），H是M上一个光滑函数。如果存在n-1个与H线性无关（它们对应的切向量线性无关）的函数  使得泊松括号

 

 

 

那么H就称作一个可积系统（IntegrableSystem）。H和 都被称为首次积分（FirstIntegral），可把它们看作某种“守恒量”。

 

 

线性无关和泊松括号为零这两个条件都非常重要。泊松括号为零保证了  确实可看作“守恒量”；而线性无关保证了可积系统具有足够的守恒量。而这里的H通常指整个系统的总能量，读者会在下文中找到更多体悟。

 

如果不理解上面的定义，不妨直接把可积系统视作“好”系统。此外，我们还需要对太阳系进行一些简化：

 

只考虑太阳和八大行星的运动，所有行星都视为一个点，并且假设太阳静止；

把八大行星的公转轨道全都当作圆盘；

忽略掉行星之间的相互作用。

 

于是太阳和行星之间的作用可简化为下图[5]：

 

 

为了分析n体问题的动力学特性，我们采用哈密顿力学体系来描述这个系统：

 

有哈密顿力学基础的读者可以发现，和位置-动量共轭不同，在这里把角度和角动量看作系统的两个自变量，原因不外乎就是行星轨迹都是圆形，方便分析。如果不熟悉哈密顿力学，可以直接无视这一段话。

 

既然角动量全都是常数（角动量守恒），那么我们就只需要考虑角度????的变化了。注意到行星的公转具有周期性，于是 ????是关于时间的周期函数。另一方面，n个行星对应了n个角度????，所以操控太阳系的动力系统就被全盘掌握在一个n维轮胎面  上。

 

 

如果把上面所有的描述用数学的语言描述出来，我们就得到了著名的刘维尔-阿诺尔德定理（又名不变轮胎定理，Invarianttorustheorem）。

 

当然，这个轮胎面具体长什么样，还得依赖于不同角动量的取值情况。不过太阳系的稳定性问题就这样被转化为了轮胎面上 ????运动轨迹（流）的稳定性——如果在一个小扰动下， ????运动轨迹依然能保持周期性，那么不就证明了行星轨道在小扰动下也能保持周期性公转了么！

 

那么怎样来描述这样的“小扰动”呢？我们知道，整个太阳系的总能量是守恒的（假设太阳能量为0），于是我们可以把哈密顿量取作太阳系的总能量H_0:

 

 

 

这里的 ????和J都是n维向量。值得注意的是，上面定义的太阳系的“总能量”只囊括了太阳对行星的引力势能，并没包含行星之间的相互作用。我们可以把“小扰动”描述为对总能量项的扰动，于是扰动后的总能量就变成了

 

 

 

柯莫戈罗夫等人的初衷就是想利用上面这个关系式来把太阳系中所有的小扰动都用某个可积系统来近似表示，又名近可积系统。而事实上，下面的定理保证了H_0(J)就是一个可积系统：

 

 

定理1：

一个哈密顿系统H在辛流形M上完全可积的充要条件是，对M上的每一点存在一个局部坐标使得H不依赖于 ????.

 

 

显然 H_0(J)不依赖于 ????，因此它就是一个可积系统。完美！

 

KAM定理虽然颇为神秘，我们现在也足以揭开它的面纱了：

 

 

定理2（KAM定理的第一部分）：

对于如下系统（记作（*））

 

假设H_1是 ????的周期函数，并且H_0(J)的海森矩阵非退化

 

则当????足够小时，系统（*）的绝大多数轮胎轨道（也就是之前提到过的，轮胎面上 ????运动轨迹）都不会发生破裂，尽管形状（对应行星的周期、公转半径）会发生些许改变。

 

 

容易验证，太阳系“总能量” H_0(J)的海森行列式为非退化的对角矩阵，因此满足上面定理的条件。这个定理告诉我们，太阳系中“绝大多数”行星在微小的扰动之下，依然可以围绕太阳做周期性的公转！这就是太阳系得以稳定的一大原因。

 

但是“绝大多数”到底有多少呢？这依赖于行星的具体公转周期，并且和数论中的丢番图逼近（Diophantineapproximation）有关。

 

 

定理3（KAM定理的第二部分）:

如果  的频率  满足

 

其中 ????>n，那么这样的????构成的集合在n维轮胎面T^n上测度为满的。此时定理2中 ????的选取依赖于L和????。

 

 

这个定理告诉我们，“绝大多数”就是指频率向量 ????满足定理3的所有轨道。根据定义可以知道，任意两个行星的周期比至少必须是无理数，否则太阳系就不一定那么稳定了。这样的周期轨道称之为非共振的。

 

本章所有定理的证明可在[1]或[6]中找到。

 

四、KAM理论的局限

从上一章中我们可以看到，KAM理论实乃天体力学和数学的完美结合。从天体力学的角度看来，这个理论巧妙地绕过了多体问题的复杂性，直接站在稳定性的角度来研究行星的运动规律，可谓独辟蹊径；从数学的角度看来，该理论融合了许多现代数学中的概念，并极大地推动了动力系统这一学科的发展，获得三次沃尔夫数学奖当之无愧。

 

不过前面介绍的KAM理论只是最经典的框架，它并不能完全证明太阳系的稳定性。其中一个原因在于对“小扰动”的理解，例如假设太阳系是封闭的，那么这样的“小扰动”就应当来自于行星间的相互作用，而由于行星间的距离在不停变化，定理2中的扰动项H_1应当依赖于距离，亦即

 

 

r_i表示第i颗行星到太阳之间的距离

 

 

行星间距不同时造成的“扰动”也不同

 

如果对“小扰动”项做出如上修正，且仍要使定理2成立，那么太阳系的“总能量”项H_0中就必须也依赖于距离r，甚至行星的运动速度。由于前面定义的H_0只依赖于角动量J，H_0对距离、速度变量的导数都是0，所以 H_0的海森矩阵高度退化，定理2的条件不被满足！可谓一夜回到解放前了。

 

或许是因为这个原因，阿诺尔德在[6]中提出了一个新的KAM理论，在一定程度上解决了这一问题。不过其中涉及到大量技术细节，并且对扰动项提出了比较严格的数学条件，它的实用性依然受到限制。

 

总结

作为天文学的一个分支，天体力学的鼎盛时期大概是文艺复兴时期，也就是哥白尼和开普勒的那个年代，距今已有四百多年历史了。随着广义相对论的提出和射电天文学的发展，现代天文学的主要关注对象已经发生了很大变化（暗物质暗能量、伽马暴、引力波等），但是传统的天体力学中还存在大量问题没被完全解决——包括太阳系的稳定性问题。从这个角度看来，KAM理论算是天体力学的一个复兴。

 

无论是n体问题也好，KAM理论也好，虽然它们的物理学背景都基于经典力学，乍看上去已经过时了。但从小编的这篇文章中我们可以看出，这两个领域中依然存在大量值得研究的问题。另一方面，这两个“经典”理论都很大的推动了现代数学和其他自然科学的发展，例如动力系统、凝聚态物理（特别是量子多体问题）和更一般的非线性科学。小编在之前的文章中已经多次涉及这些概念了，以后的文章中还会继续讨论这些话题。

 

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数学之美，并不仅仅体现在数字和视角上，还蕴含在和自然科学的相互结合中

 

参考文献

[1]V.L.阿诺尔德，《经典力学的数学方法》，齐民友译，高等教育出版社，2006.

[2] JerroldE.MarsdenandRalphAbraham, FoundationsofMechanics, 1994.

[3] http://historystack.com/30_Major_Events_in_History_of_the_Earth.

[4] http://www.scholarpedia.org/article/Kolmogorov-Arnold-Moser_theory.

[5]马天&汪守宏，《非线性演化方程的稳定性与分歧》，现代数学基础丛书，科学出版社2006.

[6] Arnold,VI(1963b).SmalldivisorproblemsinclassicalandCelestialMechanics.RussianMath.Survey18:85-191.

[7] https://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet%27s_approximation_theorem

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